某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

答

（1）设该小组中有n个女生，根据题意，得

C 1 n C 1 10−n

C 2 10

＝

8

15

解得n=6，n=4（舍去），
∴该小组中有6个女生；
（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；
P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

×

1

4

＝

1

36

P（ξ=1）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

4

+(

1

3

)2×

3

4

＝

7

36

P（ξ=3）=(

2

3

)2×

3

4

＝

12

36

P（ξ=2）=1-

1

36

−

7

36

−

12

36

＝

16

36

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

∴Eξ=1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

＝

25

12

答案解析：（1）设出该小组中有n个女生，根据古典概型的概率公式得到比值，等于恰为一男一女的概率，解出关于n的方程．
（2）由题意知ξ的取值为0，1，2，3，集合变量对应的事件，和独立重复试验的概率公式，得到变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．
考试点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．
知识点：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查独立重复试验的概率公式，考查利用概率与统计的知识解决实际问题．