求教高数题目,证明:2∫(a,0)f(x)dx∫(a,x)f(y)dy=(∫(a,0)f(x)dx设f(x)在区间[0,a]上是连续函数证明:2∫(a,0)f(x)dx∫(a,x)f(y)dy=(∫(a,0)f(x)dx)2

问题描述:

求教高数题目,证明:2∫(a,0)f(x)dx∫(a,x)f(y)dy=(∫(a,0)f(x)dx
设f(x)在区间[0,a]上是连续函数
证明:2∫(a,0)f(x)dx∫(a,x)f(y)dy=(∫(a,0)f(x)dx)2

左边交换积分顺序得
=2积分(从0到a)f(y)dy 积分(从0到y)f(x)dx 变量x,y互换
=2积分(从0到a)f(x)dx 积分(从0到x)f(y)dy
原式与上式相加得
原式=积分(从0到a)f(x)dx 积分(从0到a)f(y)dy
=(积分(从0到a)f(x)dx)^2