1ˆ2,2ˆ2,3ˆ2.100ˆ2这100个数除以101所得的余数,有多少种不同的结果.请证明.

共有50种：
假设所列的100个数中除101有两个是余数相等,
那么设其中
一个数X^2=101*A+D 注：A为除101的商,D为余数
另一个数Y^2=101*B+D,则有
Y^2-X^2=101*（B-A)
左侧=（Y+X）*（Y-X)
右侧=101*（B-A）
因为B和A都是整数,因此要求（Y+X）*（Y-X) / 101必须是整数,101是素数,而Y-X肯定小于100,所以要求Y+X=101,所以当Y+X=101时,Y^2和X^2除101的余数相等,即1和100 2和99
...以此类推
最终答案是有50种余数