在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=ex，g（x）=e-x+2x2，F（x）=f（x）⊗g（x）， （Ⅰ）求F（x）的解析式； （Ⅱ）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
问题描述：
在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=ex，g（x）=e-x+2x2，F（x）=f（x）⊗g（x），
（Ⅰ）求F（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-3，在F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．
答
（I）由定义运算：x⊗y=x（a-y），得
F（x）=f（x）⊗g（x）
=f（x）⊗（a-g（x））
=ex（a-e-x-2x2）
=aex-1-2x2ex；
（II）∵F′（x）=aex-2x2ex-4xex=-ex（2x2+4x-a），
又当x∈R时，F（x）在减函数，∴F′（x）≤0对于x∈R恒成立，
即-ex（2x2+4x-a）≤0恒成立，
∵-ex＜0，∴2x2+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
（III）当a=-3时，F（x）=-3ex-1-2x2ex，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）是F（x）曲线上的任意两点，
∵F′（x）=-ex（2x2+4x+3）
=-ex[2（x+1）2+1]＜0，
∴F′（x1）•F′（x2）＞0，
∴F′（x1）•F′（x2）=-1 不成立．
∴F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．