已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点． （1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．
问题描述：
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．
答
（1）证明：连接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．
∵E是AB中点，∴AB⊥DE．（2分）∵PD⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE⊂面PED，PD⊂面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB⊂面PAB，∴面PED⊥面PAB． （6分）
（2）∵AB⊥平面PED，PE⊂面PED，∴AB⊥PE．
连接EF，∵EF⊂PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．（9分）
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=
．
3
在△PEF中，PE=
，EF＝2，PF＝1，
7
∴cos∠PEF＝
＝
(
)2+22−1
7
2×2
7
，5
7
14
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为
.（12分）5
7
14