在三角形ABC中,角C=2角B.求证：AB的平方－AC的平方=AC*BC
问题描述：
在三角形ABC中,角C=2角B.求证：AB的平方－AC的平方=AC*BC
答
证明：设AB=c，AC=b，BC=a，由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，所以
要证c²-b²=ba，即证4R²(sin²C-sin²B)=4R²sinBsinA，sin²C-sin²B=sinBsinA成立。
sin²C-sin²B=(1-cos2C)/2-(1-cos2B)/2=(cos2B-cos2C)/2=-sin(B+C)sin(B-C)=sinAsinB,
所以c²-b²=ba，AB的平方－AC的平方=AC*BC。
答
证明：过点C做角C的平分线叫AB于点D，
因为 角C=2角B，角B=角BCD，
所以 三角形BCD为等腰三角形，
所以 BD=CD
又因为 角A是公共角，角B=角BCD
所以 三角形ABC 全等于 三角形ACD
所以有 AB：AC=AC：AD=BC：CD，
即：AC*AC=AB*AD ，AB*CD=AC*BC
所以 AB*AB-AC*AC=AB*AB-AB*AD =AB*（AB-AD）=AB*BD=AB*CD=AC*BC
问题得证！
希望能对你有帮助！
答
证明
【1】
作辅助线.
延长CB到点D,使得BD=AB.
连接AD.
【2】
易知,⊿ABD∽⊿CAD,且这两个三角形均为等腰三角形.
接下来,即可证明了.