已知a,b,c,d为正实数,P=根号下（3a+1)+根号下（3b+1)+根号下（3c+1)+根号下（3d+1);且a+b+c+d=1;求证:P>5
已知a,b,c,d为正实数,P=根号下（3a+1)+根号下（3b+1)+根号下（3c+1)+根号下（3d+1);且a+b+c+d=1;求证:P>5
p=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) + √(3d+1)
≥ 2√√（3a+1)(3b+1)+2√√(3c+1)(3d+1)
≥2√（2√√（3a+1)(3b+1)*2√√(3c+1)(3d+1)）
当（3a+1)＝(3b+1)＝(3c+1)＝(3d+1)
时“＝”成立
又
正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=1
所以a=b=c=d=1/4
即 p≥2√7
≤ √ ≥
首先我们来证明x+y≤√[2(x^2+y^2)]
（根号下x平方加上y平方），其中x,y>0
因为x^2+y^2≥2xy,两边同时加上x^2+y^2得
2(x^2+y^2)≥(x+y)^2,由于x,y>0,所以
x+y≤√[2(x^2+y^2)]
带到题目中去，有
P=√[3a+1]+√[3b+1]+√[3c+1]+√[3d+1]
≥√[2(3a+1)+2(3b+1)]+√[2(3c+1)+2(3d+1)]
≥√{2[2(3a+1)+2(3b+1)]+)]+2[2(3c+1)+2(3d+1)]}
=√[12(a+b+c+d)+16]
=√[28]>5
当且仅当a=b=c=d=3/4时，P取最小值2√[7]
注：表示根号.设a+b=u,[(3a+1)?+(3b+1)?]^2 =3a+1+3b+1+2{[(3a+1)(3b+1)]?} =3u+1+1+2{[9ab+3u+1]?} >3u+1+1+2{[3u+1]?} =[(3u+1)?+(1)?]^2=[(3u+1)?+1]^2 故(3a+1)?+(3b+1)?>(3u+1)?+1 设c+d=v同理 (3c+1)?+(3d+1)?...