已知函数f(x)=a^x-xlna,其中a属于(1,e].求证:对任意x1,x2属于[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|
问题描述：
已知函数f(x)=a^x-xlna,其中a属于(1,e].求证:对任意x1,x2属于[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|
答
算出来了,那个你看问题,是|f(x1)-f(x2)|好的,思路我们明白了,那么首先求fx的导数,是（a^x-1）lna,由于a属于(1,e],这个式子在x属于-1到1的时候是小于零,即为减函数,0到1的是增函数,说明在0处我们轻而易举的球出了函数的最小值,为f（0）=1,好的,然后我们看看哪个是最大值,最大值只可能在x=-1或者1处选择,那么x=-1时,f（-1）=a^-1+lna,f(1)=a-lna,那到底是哪个大呢?
我们可以用相减法比较大小,用f(1)-f（-1）=a-lna-（a^-1+lna）=((a-1)^2)/a^2,这个式子明显大于零,所以最大值是f(1)啦!,那么f（1）=a-lna,又a是有范围的,我们可以看看f（1）对a求导,得出1-1/a>0,函数为增函数,a是在1到e之间,所以a等于的时候,有最大值,那么fx的最大值就是e-lne=e-1了,所以绝对值|f(x1)-f(x2)|