已知f(1)=1,f(x+y)=f(x)+2(x-y)y,求函数解析式
问题描述：
已知f(1)=1,f(x+y)=f(x)+2(x-y)y,求函数解析式
为什么不同的赋值所得解析式不一样？为什么另x=0 y=1解得f(0)=-1 再另x=0 y=x 解得f(X)=2x^2-1
与令x=1，则
f(1+y)=f(1)+2(1-y)y
=1+2y-2y^2
=1+2(y+1)-2-2(1+y)^2+4(y+1)-2 的解析式不一样 是那个错了吗？
所以
f(y)=-2y^2+6y-3
即解析式为
f(x)=-2x^2+6x-3
答
令x=1,则
f(1+y)=f(1)+2(1-y)y
=1+2y-2y^2
=1+2(y+1)-2-2(1+y)^2+4(y+1)-2
所以
f(y)=-2y^2+6y-3
即解析式为
f(x)=-2x^2+6x-3
令x=0,y=1时,f(1)=f(0)-2(0-1),
得f(0)=3,不满足前面的解；
令x=0,y=t(不令y=x,避免出现y=x=0的不必要麻烦)时,
f(t)=f(0)+2(-t)t=-2t^2+f(0)=-2t^2+3,也不符合前面的解.
如此看来原题有错误.
假设,令x=m+n,y=-n,代入题目条件中,得
f(m)=f(m+n)+2(m+2n)(-n),
此时,用x、y代换上式得m、n,则
f(x)=f(x+y)-2y(x+2y),即
f(x+y)=f(x)+2y(x+2y)
将此式与题目条件
f(x+y)=f(x)+2y(x-y)
对比,可知应当有2y(x+2y)=2y(x-y)
由此得y=0,x∈R.
可见,要使题目条件成立的前提下有解,
应当说明此式的y=0,
否则就出现了阁下的疑问,
得到多种不同的解,
包括在下之前的错解了.