设A是n阶方阵,求证:存在n阶方阵B,使得A=ABA且B=BAB

问题描述:

设A是n阶方阵,求证:存在n阶方阵B,使得A=ABA且B=BAB

设A的秩为r,则存在可逆矩阵P,Q使得A=PMQ,其中M=diag(1,...,1,0,...,0),其*有r个1.
取B=Q^(-1)MP^(-1)
则A=PMQ=PMQQ^(-1)MP^(-1)PMQ=ABA,
B=Q^(-1)MP^(-1)=Q^(-1)MP^(-1)PMQQ^(-1)MP^(-1)=BAB
满足题意.