设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
问题描述：
设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．
试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
答
知识点：本题主要考查了向量组线性无关的判定与证明、基础解系的概念与性质；解题的关键在于熟练利用以下定理：向量组x1，…，xm线性无关⇔若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，则必有k1=…=km=0．
假设存在一组常数k，k1，…，kt，使得：kβ+ti＝1ki(β+αi)=0，即：(k+ti＝1ki)β=ti＝1(−ki)αi．①，①上式两边同时乘以矩阵A，则有(k+ti＝1ki)Aβ=ti＝1(−ki)Aαi．因为：α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax...
答案解析：向量组x1，…，xm线性无关的充要条件是：
若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，
则必有k1=…=km=0．
考试点：向量组线性无关的判定与证明．
知识点：本题主要考查了向量组线性无关的判定与证明、基础解系的概念与性质；解题的关键在于熟练利用以下定理：向量组x1，…，xm线性无关⇔若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，则必有k1=…=km=0．