若直角三角形的斜边长为1,求其内切圆的半径R的最大值.
问题描述：
若直角三角形的斜边长为1,求其内切圆的半径R的最大值.
答
设直角三角形的三条边分别为a、b、c(其中c为斜边)，斜边上的高为h, 斜边上的中线为d，面积为S。
则：ab=ch, a+b=√(a²+2ab+b²)=√(c²+2ab)=√(c²+2ch)；
h≤d=½c；
S=½ch, S=½(a+b+c)·R 。
故：R=2S/(a+b+c)=ch/(a+b+c)=ch/[√(c²+2ch)+c]
=ch·[√(c²+2ch)-c]/{[√(c²+2ch)+c]·[√(c²+2ch)-c]}
=ch·[√(c²+2ch)-c]/(2ch)
=[√(c²+2ch)-c]/2≤[√(c²+2c·½c)-c]/2=(√2-1)/2 。
即：R的最大值为(√2-1)/2 。
答
R的最大值为根号2+1的倒数.思路：以1为直径做半圆,可知当为斜边长是1的等腰直角三角形的时候,内切圆半径最大,这可以通过面积法证明.