已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1,求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2
问题描述：
已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1,求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2
已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1
求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2
答
左端：
首先注意到[直接计算]
a^2 + b^2 + 4abc - (1/2)(a+b)^2 - c(a+b)^2 = (1/2) (a-b)^2 (1-2c) >=0
[a、b、c构成三角形,故c= (1/2)(a+b)^2 + c^2 + c(a+b)^2
而a+b+c=1,故上式右端化为：
(1/2)(1-c)^2 + c^2 + c(1-c)^2 = (1/2) - (1/2)c^2(1-2c) >= 13/27
[最后一步是将c^2(1-2c)看作c*c*(1-2c),用平均值不等式]
右端：
a、b、c构成三角形,故
(a-b)^2 => (a+b)^2 - c^2 => (a+b+c)(a+b-c) => 1-2c => 2c-1+4ab > 0 [移项]
=> (1/2)(2c-1)(2c-1+4ab) => (1/2)(2c-1)(2c-1+4ab) + (1/2) => (1/2)(2c-1)^2 + (1/2) + 2ab(2c-1) => (1-c)^2 + c^2 + 4abc - 2ab => (a+b)^2 + c^2 + 4abc - 2ab 即得所求