证明0到1之间有无限个无理数?
问题描述：
证明0到1之间有无限个无理数?
答
不妨考虑区间[0，1]的有理数，因为有理数是分数，所以依分母从小到大的顺序，可以将他们排成一个数列，即0，1，1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然，[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的，所以对以任意的a>0可以用一个长度为a/2的区间将0包住，用一个长度为a/4的区间将1包住，用一个长度为a/8的区间将1/2包住，.........这些区间的长度和是a/2+4/a+a/8+.....=a[1-(1/2)^n]等比数列求和公式。极限为a,因此在[0,1]所有的有理数占据的长度小于a ,但a是任意的，所以[0,1]之间几乎都是无理数。所以出现了个奇妙的问题，假如能在有理数上安装一个红灯，无理数上安装个绿灯，接通电源，出现的现象是眼前是一条绿线几乎看不到红色。。。和平常认为的不同。。。偶然得知的。这就是有时候直观显得苍白，无限却充满矛盾啊。此矛盾岂直观能解决。愿对你有所帮助，加油，好好学习哈。
答
证明：
用反证法：
假设0到1之间有有限个无理数
那么取出其中最小的无理数,记为a
那么a/2也是无理数,
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