设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b=2．（Ⅰ）当a＝53时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
问题描述：
设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝
，b=2．4 5
（Ⅰ）当a＝
时，求角A的度数；5 3
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
答
∵cosB＝
∴sinB=4 5
且B为锐角3 5
（I）∵b=2，a=
5 3
由正弦定理可得，
＝b sinB
a sinA
∴sinA＝
＝asinB b
＝
×5 3
3 5 2
1 2
∵a＜b∴A＜B
∴A=30°
（II）由cosB＝
，b=24 5
利用余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB
∴4+
ac＝a2+c2≥2ac8 5
从而有ac≤10
∴S△ABC＝
acsinB＝1 2
ac≤33 10
∴△ABC面积的最大值为3
答案解析：（I） 由cosB＝
可求sinB=4 5
且B为锐角，由b=2，a=3 5
考虑利用正弦定理5 3
＝b sinB
可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，a sinA
（II）由cosB＝
，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式S＝4 5
acsinB 可求△ABC面积的最大值．1 2
考试点：正弦定理．
知识点：本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．