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ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，π3＜C＜π2，且ba−b＝sin2CsinA−sin2C．（1）判断△ABC的形状（2）若|BA+BC|＝2，求BA•BC的取值范围、

分类: 作业答案 • 2022-04-12 10:30:49
问题描述：

ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

π
3
＜C＜
π
2
，且
b
a−b
＝
sin2C
sinA−sin2C
．
（1）判断△ABC的形状
（2）若|
BA
+
BC
|＝2，求
BA
•
BC
的取值范围、

答

（1）

b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
⇒
sinB
sinA-sinB
=
sin2C
sinA-sin2C

⇒sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
⇒sinB=sin2C，
因为
π
3
＜C＜
π
2
，
所以B=π-2C⇒B+C=π-C⇒π-A=π-C⇒A=C
即△ABC为等腰三角形．
（2）因为|
BA
+
BC
|=2⇒(|
BA
+
BC
|)2=4⇒a2+c2+2accosB=4又A=C⇒a=c
所以cosB=
2-a2
a2
，
而cosB=-cos2C，
π
3
＜C＜
π
2

所以
1
2
＜cosB＜1⇒1＜a2＜
4
3
BA
•
BC
=cacosB=a2cosB=2-a2∈(
2
3
，1)
答案解析：本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．
（1）要判断△ABC的形状，我们可由
b
a−b
＝
sin2C
sinA−sin2C
，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因为
π
3
＜C＜
π
2
，我们易判断三角形的形状．
（2）由|
BA
+
BC
|＝2，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出
BA
•
BC
的取值范围．
考试点：平面向量数量积的运算；向量的模；三角函数中的恒等变换应用．
知识点：要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．

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