x+y+z=1 1/x+1/y+/1z=1 求证:x,y,z至少有一个为1
问题描述：
x+y+z=1 1/x+1/y+/1z=1 求证:x,y,z至少有一个为1
要详解好的大大加分
答
做出来了.答案如下
设x≠1,则x=1-(y+z)
1/x+1/y+/1z=1/[1-(y+z)]+1/y+/1z=1
又 1/[1-(y+z)]+1/y+/1z=1/[1-(y+z)]+(y+z)/yz=1
(y+z)/yz=1-1/[1-(y+z)]
(y+z)/yz=-(y+z)/[1-(y+z)]
等式两端同时约去(y+z)
得 1/yz=1/[(y+z)-1]
对角相乘得
(y+z)-1=yz
所以 yz-y-z+1=0
因式分解得
(y-1)(z-1)=0
其中至少有一个为1.
又由于x+y+z=1 1/x+1/y+/1z=1 是轮换对称式,所以这个结论对于x,y,z都成立,所以得证.
(你可以设y或z不等于零,最后结果是一样的).
PERIOD!