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若圆C的半径为3，单位向量e所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则e•AB的最大值为_．

分类: 作业答案 • 2022-04-06 11:58:17
问题描述：

若圆C的半径为3，单位向量

e
所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则
e
•
AB
的最大值为______．

答

设

e
，
AB
的夹角为θ
过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM
由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=sinθ＝
AM
3

∴AM=3sinθ，AB=6sinθ
∵
e
•
AB
=|
e
||
AB
|cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3
当sin2θ=1即θ=45°时取等号
故答案为：3

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