将函数展开为洛朗级数

在z=0的圆环域0＜|z|＜1内,f(z)=1/(z^2+1)=∑(-1)^n×z^(2n),其中的n从0开始取值.
在z=-i的圆环域0＜|z+i|＜2内,f(z)=1/(z+i)×1/(z-i).
其中1/(z-i)＝1/(z+i)×1/(z+i-2i)＝-1/(2i)×1/(1-(z+i)/(2i))＝-1/(2i)×∑(z+i)^n/(2i)^n,n从0开始取值.
所以,f(z)=-1/(2i)×∑(z+i)^(n-1)/(2i)^n=-∑(z+i)^(n-1)/(2i)^(n+1),n从0开始.
或者写成-∑(z+i)^n/(2i)^(n+2),n从-1到+∞.请问能解释一下每个大步骤的解题思路和套用到的公式吗? 用纸写最好想方设法利用等比级数1/(1-z)=1+z+z^2+....+z^n+...，|z|＜1。方法就是幂级数的加、减、乘，逐项求导，逐项积分z=0 的级数展开明白了！非常感谢！不过请问 z=-i 能再详细说说吗而且我发现你的解题步骤是使用了泰勒级数的公式是吧？这样解洛朗级数也是一样的吗？去年没学好今年缓考的...洛朗级数的讨论就是在泰勒级数的基础上展开的。

z=-i时，1/(z+i)已经不需要展开了，它已经是z+i的幂次了。对于1/(z-i)的展开就是套用等比级数公式，把分母转换成(z+i)-2i的形式，进一步就变成了等比级数需要的形式1/(1-(z+i)/2i)，公比是(z+i)/2i