四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN

证明：连接AC,AN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN证明：连接AC设AC与MN相交于G点过M点作MF//AC则 ∠BFM=∠BAC=45度又 CN是∠ECD的平分线从而 ∠ECN=45度∵△ABC是等腰直角三角形∴△FBM也是等腰直角三角形从而 BF=BM又 AF=AB-BF,MC=BC-BM而 AB=BC∴AF=MC①∵∠FAM=∠FBAC=90度-∠AMB，∠CMN=180度-∠AMN-∠AMB=180度-90度-∠AMB=90度-∠AMB∴∠FAM=∠CMN ②又 ∠BFM=45度=∠FAM+∠AMF,∠ECN=45度=∠CMN+∠MNC则 ∠AMF=45度-∠FAM, ∠MNC=45度-∠CMN又 ∠FAM=∠CMN∴∠AMF=∠MNC ③由①②③得 △AFM≌△MNC(角，角，边)∴AM=MN(全等三角形对应边相等)