cosx比sinx+cosx 0到二分之π的定积分 参考答案四分之π

方法一
令cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx+cosx)'
=a(sinx+cosx)+b(cosx-sinx)
=(a+b)cosx+(a-b)sinx,
得a+b=1,a-b=0,a=b=1/2,
于是Jcosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)J[(sinx+cosx)+(sinx+cosx)']/(sinx+cosx)dx
=(1/2)Jdx+(1/2)J1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)
=(1/2)[x+ln|sinx+cosx|]+c
于是易得原定积分=pi/4,pi=3.141592...,J表示积分符号.
方法二
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
令x=pi/2-t,则pi=∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
=-∫(pi/2,0)sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
所以
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)[∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx+∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx]
=(1/2)∫(0,pi/2)(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(0,pi/2)dx=pi/4