已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是 _ ．
问题描述：
已知等腰三角形腰上的中线长为
，则该三角形的面积的最大值是 ___ ．
3
答
根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=
=
a2+4a2-3 2×a×2a
，解得a2=5a2-3 4a2
，3 5-4cosA
设△ADC的面积为S，
则S=
a•2a•sinA=a2sinA=1 2
①，3sinA 5-4cosA
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′=
=3cosA(5-4cosA)-12sin2A (5-4cosA)2
，令S′=0，解得cosA=15cosA-12 (5-4cosA)2
，4 5
当cosA＞
时，S′＞0，S单调递增；当cosA＜4 5
时，S′＜0，S单调递减，4 5
所以S在cosA=
处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=4 5
，3 5
所以S的最大值为
=1，3×
3 5 5-4×
4 5
则△ABC的面积的最大值是2S=2．
法二：①式变形为5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=
sin（A+θ），其中tanθ=
9+16S2
4S 3
故有5S≤
，
9+16S2
解得S≤1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2
故答案为：2．