如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC＝2，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点． （1）求证：PC∥平面EBD； （2）求三棱锥P-EBD的体积．
问题描述：
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC＝
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
2
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求三棱锥P-EBD的体积．
答
（1）证明：在矩形ABCD中，连接AC，设AC、BD交点为O，则O是AC中点．
又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO…（3分）
又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD．
所以PC∥平面EBD…（6分）
（2） 取AB中点H，则由PA=PB，得PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD． …．．（8分）
取AH中点F，由E是PA中点，得EF∥PH，所以EF⊥平面ABCD．
∵VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=
S△ABD•PH-1 3
S△ABD•EF，1 3
由题意可求得：S△ABD=
，PH=
2
，EF=
3
，…．．（10分）
3
2
则VP-EBD=
×1 3
×
2
-
3
×1 3
×
2
=
3
2
． …．．（12分）
6
6