如图,点D在△ABC的边BC上,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线AE交AC于F
问题描述：
如图,点D在△ABC的边BC上,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线AE交AC于F
BC=5
（1）设△ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为2/5S,求BD的长
（2）若AB=根号2AC,AM为△ABC的BC边上的中线,G为重心,当DE经过G时△ABC和△ABC相似吗?,求出此时EF的长,若不相似,说明理由.
答
（1）∵DE∥AC,DF∥AB,
∴△BDE∽△BCA∽△DCF,
记S△BDE=S1,S△DCF=S2,
∵SAEFD=25S,
∴S1+S2=S-25S=35S．①
S1S=BDBC,S2S=CDBC,
于是S1S+S2S=BD+CDBC=1,即S1+S2=S,
两边平方得S=S1+S2+2S1S2,
故2S1S2=SAEFD=25S,即S1S2=125S2．②
由①、②解得S1=3±
510S,即S1S=3±
510．
而S1S=(
BDBC)2,即3±
510=(
BD5)2,解得BD=30±10
52=(5±
5)22=5±
52．
（2）由G是△ABC的重心,DF过点G,且DF∥AB,可得CDCB=23,则DF=23AB．
由DE∥AC,CDCB=23,得DE=13AC,
∵AC=2AB,∴ACAB=2,DFED=2AB2AB=2,
得DFDE=ACAB,即DFAC=DEAB,
又∠EDF=∠A,故△DEF∽△ABC,
得EFBC=DEAB,所以EF=5
23．