in,关于幂级数收敛域的边界问题~
问题描述：
in,关于幂级数收敛域的边界问题~
幂级数S(x)=∑an(x^n)的收敛域为[-R,R],那么可以推出在( )上S'(x)=∑an(x^n)'.
A.[-R,R]
B.(-R,R)
选哪个啊,幂级数逐项求导之后在边界点还收敛于和函数的导数吗?
答
选B.逐项求导后边界点不一定收敛了,比如f(x)=∑x^n/n^2.
边界点收敛的话,逐项积分后边界点还是收敛.那比如：求：∑(x^n)/(n(n+1))的和函数S(x)。得到它的收敛域是[-1，1]求导之后S'(x),S''(x)是不是只能取(-1,1)？用它们最终求得(-1,1)上的S(x)，端点处再另算？在开区间上可任意进行求导或积分运算，但只要涉及到边界就需要小心。 但如果已经知道边界收敛了，那么就没有问题了。比如你举的例子， 如果你算出在（－1，1）上和函数有表达式ln(1+x)（我只是举例子， 不是说和函数真的是这个表达式），不论你是通过什么方法求出来的， 那么在x＝1点的函数值一定是lim ln(1+x)，x趋于1。 在x＝－1点的函数值一定是lim ln(1+x)，x趋于－1。 也就是一定可以用极限值代替函数值。 但要注意前提条件：必须已经判断出边界点收敛。