点P是等边三角形ABC内部一点,PA=3,PB=4,PC=5,则三角形ACP的面积是_.

问题描述:

点P是等边三角形ABC内部一点,PA=3,PB=4,PC=5,则三角形ACP的面积是______.

如图,把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD,
则AD=PA=3,CD=PB=4,
∴△APD是等边三角形,
∴PD=PA=3,
∵PD2+CD2=32+42=25,
PC2=52=25,
∴PD2+CD2=PC2
由勾股定理逆定理得,△PCD是直角三角形,
∴∠ADC=150°,
S四边形APCD=S△APD+S△PCD=

1
2
×3×(3×
3
2
)+
1
2
×3×4=
9
3
4
+6,
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E,
则∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°,
∴CE=
1
2
CD=
1
2
×4=2,
∴S△ACD=
1
2
AD•CE=
1
2
×3×2=3,
∴S△ACP=S四边形APCD-S△ACD=
9
3
4
+6-3=
9
3
4
+3.
故答案为:
9
3
4
+3.