点P是等边三角形ABC内部一点,PA=3,PB=4,PC=5,则三角形ACP的面积是_.
问题描述:
点P是等边三角形ABC内部一点,PA=3,PB=4,PC=5,则三角形ACP的面积是______.
答
如图,把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD,
则AD=PA=3,CD=PB=4,
∴△APD是等边三角形,
∴PD=PA=3,
∵PD2+CD2=32+42=25,
PC2=52=25,
∴PD2+CD2=PC2,
由勾股定理逆定理得,△PCD是直角三角形,
∴∠ADC=150°,
S四边形APCD=S△APD+S△PCD=
×3×(3×1 2
)+
3
2
×3×4=1 2
+6,9
3
4
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E,
则∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°,
∴CE=
CD=1 2
×4=2,1 2
∴S△ACD=
AD•CE=1 2
×3×2=3,1 2
∴S△ACP=S四边形APCD-S△ACD=
+6-3=9
3
4
+3.9
3
4
故答案为:
+3.9
3
4