已知命题p：“∀x∈[1，2]，12x2-ln x-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax-8-6a=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

答

∵∀x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0，
∴a≤

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
令f（x）=

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
则f′（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=x-

1

2

＞0（x∈[1，2]），
∴函数f（x）在[1，2]上是增函数、
∴f（x）_min=

1

2

，∴a≤

1

2

．
又由命题q是真命题得△=4a²+32+24a≥0，
解得a≥-2或a≤-4．
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[-2，

1

2

]
答案解析：本题考查的一元二次不等式的解法，及一元二次方程的根的分布与系数的关系．由命题p：“∀x∈[1，2]，

1

2

x²-ln x-a≥0”是真命题，则a≤

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，即a小于等于函数y=

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]的最小值；由命题q：“∃x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命题，则方程x²+2ax-8-6a=0的判别式△=4a²+32+24a≥0，然后构造不等式组，解不等式组，即可得到答案．
考试点：四种命题的真假关系；一元二次不等式的解法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：f（x）＞m恒成立，则m小于f（x）的最小值；
f（x）＜m恒成立，则m大于f（x）的最大值；
f（x）≥m恒成立，则m小于等于f（x）的最小值；
f（x）≤m恒成立，则m大于等于f（x）的最大值．