已知数列{An}的前n项和Sn满足S(n+1)=4An+2(n是正整数）,A1=1.设Cn=An/2n,求证：{Cn}是等差数列.
问题描述：
已知数列{An}的前n项和Sn满足S(n+1)=4An+2(n是正整数）,A1=1.
设Cn=An/2n,求证：{Cn}是等差数列.
答
设cn=an/2^n,求证cn是等差数列
由cn=an/2^n,知an=2^n*cn,
且a(n+1)=2^(n+1)*c(n+1),a(n-1)=2^(n-1)*c(n-1),
由bn=2an-4a(n-1)=2*2^n*cn-4*2^(n-1)*c(n-1)=2^(n+1)*[cn-c(n-1)]=3*2^(n-1)
得cn-c(n-1)=3*2^(n-1)/2^(n+1)=3/4
同样有,
b(n+1)=2a(n+1)-4an=2*2^(n+1)*c(n+1)-4*2^n*cn=2^(n+2)*[c(n+1)-cn]=3*2^n
得c(n+1)-cn=3*2^n/2^(n+2)=3/4
由c(n+1)-cn=cn-c(n-1)=3/4知cn为一等差数列.