设A为n级矩阵,且A²=E,则秩（A+E）+秩（A-E）=n

您学到什么地步了？不知道我的解法你能不能看懂，秩可以写成rank的
证明：因为A²=E，即A²=E²，
移项，平方差公式得 (A+E)(A-E)=0
由A为n级矩阵，知A-E为n级矩阵，不妨设其为(α1,α2,…,αn) 其中，α1,α2,…,αn为A-E的列向量。
所以由(A+E)(A-E)=0，必有(A+E)*α1=(A+E)*α2=…=(A+E)*αn=0
将A+E看做n元一次齐次方程的系数矩阵，α1,α2,…,αn看做解向量
则α1,α2,…,αn为以A+E为系数矩阵的解向量
方程组解空间的维数dimW
所以dimW+rank(A+E)=n
而rank(A-E)=rank(α1,α2,…,αn)即rank(A-E)+rank(A+E)又由rank(A-E)+rank(A+E)>=rank(2A)=n
即rank(A-E)+rank(A+E)=n

由A²=E,得A²-E=0,则(A+E)(A-E)=0,且显然A是满秩矩阵
设A+E的秩为r,则(A+E)X=0的解空间是n-r维空间,因此A-E的秩不超过n-r,
即秩(A+E)+秩(A-E)=秩(A+E+A-E)=秩(2A)=n
因此秩(A+E)+秩(A-E)=n