设A是非奇异实对称矩阵,B是反对称矩阵,且AB=BA.证明A +B必是非奇异的
问题描述：
设A是非奇异实对称矩阵,B是反对称矩阵,且AB=BA.证明A +B必是非奇异的
答
如果A+B=A(I+A^{-1}B)奇异,则A^{-1}B至少有一个特征值是-1
但是(A^{-1}B)^T=B^TA^{-T}=-BA^{-1}=-A^{-1}B,说明A^{-1}B是实反对称矩阵,它的特征值实部必须是零,矛盾