点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则p到直线y=x-2的距离的最小值为

问题描述:

点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则p到直线y=x-2的距离的最小值为

设P(a,a²-lna)
距离=|a-(a²-lna)-2|/√2
|a-(a²-lna)-2|
=|a²-a-lna+2|
令b=a²-a-lna+2
b'=2a-1-1/a=(2a²-a-1)/a=0
a=1,a=-2
定义域是x>0
所以a>0
a=1
则0a>1,2a²-a-1>0,b'>0,b=a²-a-lna+2是增函数
所以a=1时b有最小值=2
所以|a-(a²-lna)-2|/√2>=2/√2=√2
所以距离最小值=√2

先对函数求导
令导数=直线y=x-2的斜率1
求出切点
在求出与直线y=x-2
平行的切线
这条切线与直线y=x-2
的距离即为最短距离
楼主要自己动手算