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在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于一点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若AD=23，CF=3，求⊙O的面积．

分类: 作业答案 • 2022-03-02 21:40:03

问题描述：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于一点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AD=2

3

，CF=

3

，求⊙O的面积．

答

（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
即BD=BF；（4分）
（2）设⊙O的半径为r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

＝

OA

AB

，

r

2r−

3

＝

r+2

3

2r+2

3

，
解得r=2

3

，
∴S_⊙O=π×(2

3

)2＝12π．（4分）