已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax2+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，（1）求f（x）的解析式（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？
问题描述：
已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax2+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？
答
（1）∵方程ax2+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）2=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a＝−
，∴f（x）的解析式为f(X)＝−1 2
(x−1)2+1 2
；1 2
（2）∵f(X)＝−
(x−1)2+1 2
≤1 2
，∴2n≤1 2
，∴n≤1 2
，∴f（x）在[m，n]上单调递增，1 4
若满足题设条件的m，n存在，则
，∴
f(m)＝2m f(n)＝2n
即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
m＝−2 n＝0
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．
答案解析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a＝−12，故函数解析式可求；（2）利用函数的最大值可知f（x）在[m，n]上单调递增，从而可建立方程组，故满足条件的m，n存在．
考试点：函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．
知识点：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了二次函数解析式的运用以，涉及分类讨论，转化思想．