金山区初三数学第一学期期末质量抽查试卷

金山区2009学年度第一学期初中九年级数学期末考试 2009.1
（测试时间：100分钟,满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题,共25题．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）
1．在Rt△ABC中,∠C = 90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a=3,b=4,那么下列等式中正确的是（）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2．如图,已知AB‖CD,AD与BC相交于点O,AO∶DO=1∶2,
那么下列式子错误的是（ ）
（A）BO∶CO=1∶2； （B）CO∶BC=1∶2；
（C）AD∶DO=3∶2； （D）AB∶CD=1∶2．
3．把抛物线 向下平移2个单位后得到的新抛物线的解析式是（）
（A） ； （B） ；
（C） ；（D） ．
4．下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（ ）
（A）等边三角形； （B）平行四边形；
（C）正方形； （D）正五边形．
5．下列条件中,不能判定 ‖ 的是（ ）
（A） ‖ , ‖ ； （B） ；
（C） = ； （D）（B） = , = ．
6．⊙ 与⊙ 的半径分别为1和3,那么下列四个叙述中,错误的是（ ）
（A）当 时,⊙ 与⊙ 有两个公共点；
（B）当⊙ 与⊙ 有两个公共点时, ；
（C）当 ≤ 时,⊙ 与⊙ 没有公共点；
（D）当⊙ 与⊙ 没有公共点时, ≤ ．
二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）
7．已知线段b是线段a、c的比例中项,且a = 9,c = 4, 那么b =．
8．如果两个相似三角形的面积比为1∶4,那么它们的对应角平分线的比为 ．
9．已知点G是△ABC的重心,AD是中线,AG=6,那么DG=．
10．求值： ．
11．抛物线 的顶点坐标是．
12．请写出一个以直线 为对称轴,且在对称轴左侧部分是上升的抛物线,这条抛物线的表达式可以是．
13．小李在楼上点A处看到楼下点B处的小明的俯角是35度,那么点B处的小明看点A处的小李的仰角是度．
14．已知点P在⊙O外,且⊙O的半径为5,设OP=x,那么x的取值范围是．
15．在平面直角坐标系中,以点P（4, ）为圆心的圆与x轴相切,那么该圆和y轴的位置关系是 ．
16．正十边形的中心角度数是 ．
17．相切两圆的半径分别是4和6,那么这两个圆的圆心距为 ．
18．在△ABC中,AB=AC= 5,BC=6,以点A为圆心,r为半径的圆与底边BC（包括点B和点C）有两个公共点,那么r的取值范围是．
三、解答题：（本大题共7题,满分78分）
19．（本题满分10分）
如图,已知两个不平行的向量 、 ．
先化简,再求作： ．
（不要求写作法,但要指出图中表示结论的向量）
20．（本题满分10分）
已知二次函数 的图像经过点（2, ）和（ ,0）,求这个二次函数的解析式,并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．
21．（本题满分10分）
如图,已知在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,线段CE的延长线与线段BA的延长线交于点F,CD=6,AE= ED,求BF的长．
22．（本题满分10分）
如图是公园中的一个圆弧形拱门,其中拱门的圆心是点O,拱门的最高处点A到地面的距离AH=3米,拱门的地面宽BC=2米,求拱门的半径.
23．（本题满分12分,其中每小题6分）
12月22日是我国农历节气中的冬至日,这天太阳光与地面夹角的度数最小,因此建筑物的影子就最长.某地这天的某一时刻太阳光与水平面的夹角 的度数是37°,该地一小区内甲乙两幢楼之间的间距BD=40米,甲楼的楼顶A在乙楼上的投影E的高度ED为5米.
（1）求甲楼的高度；
（2）若要使得这一时刻甲楼的楼顶A的投影恰好在乙楼的楼底处,那么在设计时这两幢楼的间距一定要达到多少米?
（参考数据： , , , ）
24．（本题满分12分,其中第（1）小题3分,第（2）小题3分,第（3）小题6分）
如图,正比例函数 与二次函数 的图像都经过点A（2,m）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图像顶点P的坐标和对称轴；
（3）若二次函数图像的对称轴与正比例函数的图像相交于点B,与x轴相交于点C,点Q是x轴的正半轴上的一点,如果△OBC与△OAQ相似,求点Q的坐标．
25．（本题满分14分,其中第（1）小题4分,第（2）小题5分,第（3）小题5分）
已知：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠ABC= ,AB=5,D是线段AB上的一点（与点A、B不重合）,直线DP⊥AB,与线段AC相交于点Q,与射线BC相交于点P,E是AQ的中点,线段ED的延长线与线段CB的延长线相交于点F.
（1）求证：△FBD∽△FDP；
（2）求BF∶BP的值；
（3）若⊙A与直线BC相切,⊙B的半径等于线段BF的长,设BD=x,当⊙A与⊙B相切时,请求出x的值．
金山区2009学年度第一学期初中九年级数学期末考试
参考答案与评分意见2010.1
一、选择题：（本大题共有6题,每题4分,满分24分）
1．D；2．B；3．A；4．C；5．B；6．D．
二、填空题：（本大题共有12题,每题4分,满分共48分）
7．6；8．1∶2；9．3；10． ；11．（1,-3）；12． 等；13．35；14． ；15．相离；16．36°；17．2和10；18． ．
三、解答题：
19． ．………………………………………………（4分）
图正确（图略）．…………………………………………………………………（5分）
结论． ……………………………………………………………………………（1分）
20．根据题意,得 ……………………………………………（2分）
解得……………………………………………………（2分）
∴所求的二次函数的解析式为 ．………………………………（1分）
又∵ ,…………………………………………（2分）
∴函数图像的顶点坐标是（1,-4）,对称轴是直线x=1．…………………（3分）
21．在平行四边形ABCD中,AB‖CD,AB=CD……………………………………（2分）
∵AB‖CD,∴ ．……………………………………………………（2分）
∵AE= ED,∴ ．……………………………………………（3分）
∴AB=CD=6,∴BF=9．…………………………………………………………（3分）
22．联结OB,设半径为r.…………………………………………………………（2分）
由题意可得AH⊥BC,点O在AH上
∴BH=CH= ． ……………………………………………………………（2分）
∵BC=2米,∴BH=1米.
∵∠BHO=90°,∴ ………………………………………（1分）
得： ……………………………………………………………（2分）
解得： ………………………………………………………………………（2分）
答：拱门的半径为 米．………………………………………………………（1分）
23．（1）过点E作EH⊥AB,垂足为点H.
由题意,得AB⊥BD,CD⊥BD
∠AEH= =37°,BD=EH=40米,ED=BH=5米.………………………………（1分）
在Rt△AHF中,∠AHE=90°,
tan∠AEH= ,=EH tan∠AEH=30米,…………………………………（3分）
AB=AH+BH=35米……………………………………………………………………（1分）
答：甲楼的高度是35米.……………………………………………………………（1分）
（2）延长AE,交直线BD于点F……………………………………………………（1分）
在Rt△ABF中,∠ABF=90°,∠AFB= =37°………………………………………（1分）
cot∠AFB= ,BF=AB cot∠AFB=46.55米…………………………………………（3分）
答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到46.55米……………………………………（1分）
（2）解法二：
延长AE,交直线BD于点F………………………………………………………………（1分）
∵AB⊥BD,EH⊥AB
∴BD‖EH ∴ ……………………………………………………………（2分）
∵AB=35,AH=30,EH=40 ∴ ∴ 米…………………（2分）
答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到 米………………………………………（1分）
24．（1）∵正比例函数 与二次函数 的图像都经过点A（2,m）
∴ …………………………………………………………（1分）
∴
∴ ………………………………………………………………………（1分）
∴这个二次函数的解析式是 …………………………（1分）
（2） ………………………………………（1分）
∴这个二次函数图像顶点P的坐标是 ,对称轴是 ……………（2分）
（3）设 .当 时, ,
∴ …………………………………………………………………（1分）
当△OBC∽△OAQ时,有 ,得 ……………………（2分）
当△OBC∽△OQA,有 ,得 ……………………（2分）
∴点Q的坐标是 ……………………………………………………（1分）
25．（1）∵∠ACB=∠PDB=90°,∠ABC=∠PBD,∴△BDP∽△ABC．
∴∠A=∠BPD……………………………………………………………………（1分）
∵∠ADQ=90°,E是AQ的中点
∴AE=EQ=DE
∴∠A=∠ADE．…………………………………………………………………（1分）
∵∠FDB=∠ADE．
∴∠FDB=∠FPD
∵∠DFB=∠PFD
∴△FBD∽△FDP…………………………………………………………………（2分）
（2）解法一：
∵△FBD∽△FDP,
∴ …………………………………………………………（1分）
∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………………（1分）
BF∶BP=9∶7……………………………………………………………………（1分）
解法二：∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
设DP=4k,BD=3k,则BP=5k……………………………………………（1分）
∵△FBD∽△FDP,
∴
…………………………………………………………（1分）
∴ ,
解得： ……………………………………………………………（1分）
∴BF∶BP=9∶7………………………………………………………………（1分）
解法三：∵∠PDB=90°
∴ ……………………………………………………（1分）
∵△FBD∽△FDP,
∴ ……………………………………………（2分）
∴ ……………………………………………………………………（1分）
∴BF∶BP=9∶7………………………………………………………………（1分）
（3）如果⊙A与⊙B外切,则 ,此时 不在 上,不合题意……………………………………………………………（1+1分）
如果⊙A与⊙B内切,则 ,此时 , 适合题意…………………………………………………………………（1+1分）
综上所述, ……………………………………………………………（1分）