已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8． （Ⅰ）求函数f（x）的极值； （Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
答
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−
时，f（x）取得极小值为−
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
，
当0＜x＜
时，F′（x）＜0；当x＞
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
)≥0，即(
)3−(a−2)(
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．
（I）f′（x）=3x2+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1＝−1或x2＝−
．1 3
列表如下：
| x | （-∞，-1） | -1 | (−1，−
|
−
|
(−
|
||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
当x＝−
| 1 |
| 3 |
| 112 |
| 27 |
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
| 2a−4 |
| 3 |
当0＜x＜
| 2a−4 |
| 3 |
| 2a−4 |
| 3 |
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
| 2a−4 |
| 3 |
| 2a−4 |
| 3 |
| 2a−4 |
| 3 |
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．