求数列｛n•2ⁿ｝的前n项和 证明.
问题描述：
求数列｛n•2ⁿ｝的前n项和 证明.
答
Sn=(n-1)×2^(n+1)+2
证明：
Sn=1*2+2*2^2+...+n*2^n
2Sn=1*2^2+2*2^3+...+n•2^(n+1)
Sn-2Sn=1*2+2*2^2-1*2^2+3*2^3-2*2^3+...+n*2^n-(n-1)*2^n+n•2^(n+1)
-Sn=1*2^1+1*2^2+1*2^3...+1*2^n+n•2^(n+1)
-Sn=2+4+8+...+2^n-n•2^(n+1)
-Sn=2(2^n-1)-n•2^(n+1)
Sn=n•2^(n+1)-2(2^n-1)
Sn=(n-1)×2^(n+1)+2
答
Sn=(n-1)×2^(n+1)+2 证明如下：证：Sn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2^nSn/2=1+2×2+3×2^2+...+n×2^(n-1)Sn/2-Sn=-Sn/2=1+2+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n-1)/(2-1)-n×2^n=2^n-1-n×2^nSn=(n-1)×2^(n+1)+2