高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
问题描述：
高等代数,矩阵运算
A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
答
利用两个引理就可以了～
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0,则r（A）+r（B）（2）对于n阶矩阵A、B,有r（A+B）证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0,所以B的列向量均为AX=0的解,则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数,即r（B）（2）设a1,…,an为A的列向量,b1,…,bn为B的列向量,不妨设a1,…,ar为A的列向量的极大线性无关组,b1,…,bl为B的列向量的极大线性无关组,则a1,…,an均可由a1,…,ar线性表出,b1,…,bn均可由b1,…,bl线性表出,从而A+B的列向量a1+b1,…an+bn均可由a1,…,ar,b1,…,bl线性表出,从而r（A+B）现在来证明该题：
利用（1）,有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n
又A^2-A=A（A-E）=0
从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）所以r（A）+r（A-E）=n