a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
问题描述：
a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
答
这个是正确的当n=1时不等式成立
当n=2时a12+a22≥1/2（a1+a2）2
假设当n=N时 不等式成立即a12+a22+…aN2≥1/N（a1+a2+…aN）2
即N（a12+a22+…aN2）≥（a1+a2+…aN）2
则当n=N+1时(N+1) (a12+a22+…aN2+aN+12) ≥（a1+a2+…aN）2+a12+a22+…aN2+(N+1) aN+12≥（a1+a2+…aN）2+2 aN+1(a12+a22+…aN2)+ aN+12=（a1+a2+…aN+aN+1）2
即(a12+a22+…aN2+aN+12) ≥1/(N+1) （a1+a2+…aN+aN+1）2
则不等式在n=N+1时成立
所以不等式一直成立
答
当a1 a2 ... an是正数的时候成立
用柯西不等式证明
答
对,这个只是柯西不等式的一个应用.
柯西不等式：
(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2
这里面令b1=b2=...=bn=1,带入就是你要的结果.