已知扇形周长20CM,当它圆心角和半径各取什么值时扇形面积最大?
问题描述：
已知扇形周长20CM,当它圆心角和半径各取什么值时扇形面积最大?
答
设半径为R，圆心角为A。
2*R+R*A=20
R*(2+A)=20
R=20/(2+A)
S=(R*(R*A))/2
=((20/(2+A))*(20/(2+A))*A)/2
=(400*A)/(2*(2+A)^2)
=(200*A)*(2+A)^(-2)
S'=200*(2+A)^(-2)+(-2)*(200*A)*(2+A)^(-3)=0
200*(2+A)^(-2)+(-2)*(200*A)*(2+A)^(-3)=0
(2+A)^(-2)-2*A*(2+A)^(-3)=0
1-2*A*(2+A)^(-1)=0
(2+A)-2*A=0
A=2弧度
R=20/(2+A)=5厘米
S=(200*A)*(2+A)^(-2)
=200*2*(2+2)^(-2)
=400/(4^2)
=25平方厘米
当它圆心角A=2弧度和半径R=5厘米时，扇形面积最大为S=25平方厘米。
答
设半径为r,弧长为20-2r
面积=1/2×r×（20-2r）=-r²+10r=-（r-5）²+25
r=5时最大
圆心角为n
20-2r=2πr/360×n
求出n