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已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（.AP+.BD）•（.PB+.PD）的最大值为 ______

分类: 作业答案 • 2022-02-14 23:01:51
问题描述：

已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（

.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值为 ______

答

以A为坐标原点，以AB为X轴正方向，
以AD为Y轴正方向建立直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
∵P点有对角线AC上，设P（x，x），0＜x＜2
所以

.
AP
=（x，x），
.
BD
=（-2，2），
.
PB
=（2-x，-x），
.
PD
=（-x，2-x）
（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）
=4x-4x2=-4（x-
1
2
）2+1
当x=
1
2
时，有最大值为1
故答案为：1
答案解析：由已知中正方形ABCD的边长为2，我们可以建立直角坐标系，选求出各点坐标，设出动点P的坐标，再求出各向量的坐标，得到（
.
AP
+
.
BD
）．（
.
PB
+
.
PD
）表达式，进而得到最大值．
考试点：平面向量数量积的运算．
知识点：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，引入各向量的坐标，是解答问题的关键．

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