若X1=a>0,Y1=b>0(a>b),且Xn+1=(XnYn)^1/2,Yn+1=1/2(Xn+Yn) 证明lim(n→ ∝ )Xn与lim(n→ ∝ ）Yn存在怎么证Yn是单调且有界的?
问题描述：
若X1=a>0,Y1=b>0(a>b),且Xn+1=(XnYn)^1/2,Yn+1=1/2(Xn+Yn) 证明lim(n→ ∝ )Xn与lim(n→ ∝ ）Yn存在
怎么证Yn是单调且有界的?
答
1）Xn+1=(XnYn)^1/2 所以Xn Yn+1=1/2(Xn+Yn) 又因为Y1=b>0,X1=a>b, Y2=1/2(a+b) > X2=(ab)^2 ,所以Yn从Y2开始递减,即Yn Y2=1/2(a+b) > b>0, 所以Yn单调有界, 即极限存在.
2）Xn+1=(XnYn)^1/2 > (Xn Xn)^1/2=Xn 所以Xn递增,同理,Xn从x2开始递增, 即 Xn > X2
又因为Xn感觉好像不对.Yn+1=(1/2)*(Xn+Yn) 还是Yn+1=1/[2*(Xn+Yn)] ?如果是=(1/2)*(Xn+Yn)那上面的过程就是对的