如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD． （1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE
问题描述：
如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD2=AC•AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．
答
（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，
∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠C，
又∠ABC=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）证明：∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，
∴△ADB∽△AED，
∴
＝AD AB
，AE AD
即AD2=AB•AE，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∴AD2=AC•AE；
（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE．
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴
=CD
BD
∴∠DBC=∠EAD，
∴∠EDB=∠EAD，
又∵∠DEB=∠AED，
∴△DBE∽△ADE．