高中数学必修一每一章的知识点与公式

第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.一般地,研究对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set）,也简称集
2..集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3..集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA
 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.
①列举法：{a,b,c……}列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法：具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
如：{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…；
例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如：{整数},即代表整数集Z.
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
说明：列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
④ Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系：A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B
即：① 任何一个集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 mxn (m x n都是真正数且m B C A 则C的个数为 个
B C  A 或ACB则C的个数为 -1个
BCA则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合,A是S的一个子集（即 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
（3）性质：⑴CU(C UA)=A⑵(C UA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’）,即A B=｛x|x A,且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’）,即A B ={x|x A,或x B})．
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）
记作 ,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A(CuA)=U
A(CuA)= Φ．
第二章函数
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果 ,则称 是 的 次方根, 的 次方根为0,若 ,则当 为奇数时, 的 次方根有1个,记做 ；当 为偶数时,负数没有 次方根,正数 的 次方根有2个,其中正的 次方根记做 ．负的 次方根记做 ．
1．负数没有偶次方根；
2．两个关系式： ；
3、正数的正分数指数幂的意义： ；
正数的负分数指数幂的意义： ．
4、分数指数幂的运算性质：
⑴； ⑵；
⑶；⑷；
⑸,其中 、 均为有理数, , 均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若,且 , ,则 ．
2．两个对数：
⑴ 常用对数： , ；
⑵ 自然对数： , ．
3．三条性质：
⑴ 1的对数是0,即 ；
⑵ 底数的对数是1,即 ；
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
⑴；⑵；
⑶； ⑷．
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式： ；
⑵ 换底公式： ；
⑶； ；
⑷．
函数的概念
一．映射：设A、B两个集合,如果按照某中对应法则 ,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量 、 ,对于 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,则称 是 的函数,记做 ,其中 称为自变量, 变化的范围叫做函数的定义域,和 对应的 的值叫做函数值,函数值 的变化范围叫做函数的值域．
三．函数 是由非空数集 到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知 ,求函数 的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式；
例如：已知 是一次函数,且 ,函数 的解析式．
三．由函数 的图像受制约的条件,进而求 的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式：
⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知 定义域为 ,求 定义域；
已知 定义域为 ,求 定义域；
三．实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域
一次函数

二次函数
时,
时,
反比例函数
,且
指数函数

对数函数

三角函数




二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数的值域是 ,根据这个函数中 , 的关系,用 把 表示出,得到 ．若对于 中的每一 值,通过 ,都有唯一的一个 与之对应,那么, 就表示 是自变量, 是自变量 的函数,这样的函数叫做函数的反函数,记作 ,习惯上改写成 ．
二．函数 存在反函数的条件是： 、 一一对应．
三．求函数 的反函数的方法：
⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交换 、 ,得
⑷ 结论,表明定义域
四．函数 与其反函数 的关系：
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换．
⑵ 若 图像上存在点 ,则 的图像上必有点 ,即若 ,则 ．
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称．
函数的奇偶性：
一．定义：对于函数 定义域中的任意一个 ,如果满足 ,则称函数 为奇函数；如果满足 ,则称函数 为偶函数．
二．判断函数 奇偶性的步骤：
1．判断函数 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称；
2．验证 与 的关系,若满足 ,则为奇函数,若满足 ,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称．
三．已知 、 分别是定义在区间 、上的奇（偶）函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性．







奇 奇 奇奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶奇
偶 偶 偶 偶 偶
五．若奇函数 的定义域包含 ,则 ．
六．一次函数是奇函数的充要条件是 ；
二次函数是偶函数的充要条件是 ．
函数的周期性：
一．定义：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期．
2．如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．如果函数 的最小正周期为 ,则函数 的最小正周期为 ．
函数的单调性
一．定义：一般的,对于给定区间上的函数 ,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时满足：
⑴,则称函数 在该区间上是增函数；
⑵,则称函数 在该区间上是减函数．
二．判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
*2．导数法：
⑴ 求函数f(x)的导数 ；
⑵ 解不等式 ,所得x的范围就是递增区间；
⑶ 解不等式 ,所得x的范围就是递减区间．
3．复合函数的单调性：
对于复合函数 ,设 ,则 ,可根据它们的单调性确定复合函数 ,具体判断如下表：

增 增 减 减

增 减 增 减

增 减 减 增
4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像
一．基本函数的图像．
二．图像变换：

将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍,可得 的图像

将 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ,可得 的图像

关于 轴对称

关于 轴对称

将 位于 轴左侧的图像去掉,再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧,可得 的图像

将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方,可得的图像
三．函数图像自身的对称
关系 图像特征

关于 轴对称

关于原点对称

关于 轴对称

关于直线 对称

关于直线 轴对称

关于直线 对称

周期函数,周期为
四．两个函数图像的对称
关系 图像特征
与
关于 轴对称
与
关于 轴对称
与
关于原点对称
与
关于直线 对称
与
关于直线 对称
与
关于 轴对称