直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
问题描述：
直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
答
假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
由
得：（3-m2）x2-2mx-2=0，
y＝mx+1 3x2−y2＝1
则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，
由韦达定理有：x1+x2＝
，x1x2＝2m 3−m2
，−2 3−m2
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即
•
OA
＝0，即x1x2+y1y2=0，
OB
所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，
所以（1+m2）•
+m•−2 3−m2
+1=0，解得m=±1，2m 3−m2
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
答案解析：假设存在m值满足条件，设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），联立直线方程与双曲线方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB为直径的圆过原点得OA⊥OB，即
•
OA
＝0，从而可转化为关于A、B坐标的关系式，由直线方程可进一步化为x1，x2的式子，将韦达定理代入即可得m的方程，解出m后检验是否满足△＞0即可．
OB
考试点：直线与圆锥曲线的关系；圆的一般方程．
知识点：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的性质，考查转化思想，解决本题的关键是正确理解“以AB为直径的圆过原点”并能合理转化．