三角形ABC中,AC=2AB,AD是∠BAC角平分线,过D作AC,AB的平行线交AB,AC于E,F.FE与CB延长线交于点G,求证:EF=EG注意：不要用角平分线定理!
问题描述：
三角形ABC中,AC=2AB,AD是∠BAC角平分线,过D作AC,AB的平行线交AB,AC于E,F.FE与CB延长线交于点G,求证:EF=EG
注意：不要用角平分线定理!
答
由DE‖AC,DF‖AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又DA是∠BAC的平分线,
∴四边形AEDF是菱形,
设菱形边长AE=AF=FD=DE=a,BE=x,
∵AC=2AB∴CF=a+2x,DF=a,DE=a,BE=x,
∵FD‖AB,∴△CFD∽△DEB,
∴（a+2x）：a=a：x,
ax+2x²=a²,
∴2x²+ax-a²=0
（2x-a）（x+a）=0,
∴2x=a,x=-a（舍去）
∴x：a=1：2,
x：a=EG：GF=1：2,
∴GE=EF.