设函数f(x)在x=Xo处具有二阶导数f''(Xo),证明{f(Xo+h)+f(Xo-h)-2f(Xo)}/h^2的极限等于f"(X0)

问题描述:

设函数f(x)在x=Xo处具有二阶导数f''(Xo),证明{f(Xo+h)+f(Xo-h)-2f(Xo)}/h^2的极限等于f"(X0)

{f(Xo+h)+f(Xo-h)-2f(Xo)}/h^2={ [f(x0+h)-f(x0)] /h-[f(x0)-f(x0-h)]/h}/h;
因为h趋于0,lim [f(x0+h)-f(x0)]/h)=f'(x0)
[f(x0)-f(x0-h)]/h=f'(x0-h)
所以{ [f(x0+h)-f(x0)] /h-[f(x0)-f(x0-h)]/h}/h=f'(x0)-f'(x0-h)/h=f''(x0)

先用一次洛必达法则,原式 = lim(h->0) [f '(xo+h) - f '(xo-h) ] / 2h= lim(h->0) [f '(xo+h) - f '(xo) + f '(xo) - f '(xo-h) ] / 2h= 1/2 lim(h->0) [f '(xo+h) - f '(xo) ] / h + 1/2 lim(h->0) [ f '(xo-h) - f...