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（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC=_，线段AE的长为_．

分类: 作业答案 • 2022-01-26 14:37:07
问题描述：

（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC=______，线段AE的长为______．

答

①∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°；
∵AB=6，BC=3，∴cos∠ABC=

BC
AB
=
1
2
，
∵∠ABC是锐角，∴∠ABC=60°．
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，
∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=
62-32
=3
3
．
在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=
3
3
2
，由勾股定理得AD=
(3
3
)2-(
3
3
2
)2
=
9
2
，
由切割线定理得DC2=DE•DA，
∴DE=
(
3
3
2
)2
9
2
=
3
2
，∴AE=AD-DE=
9
2
-
3
2
=3．
故答案为30°，3．

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