求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=o.

问题描述:

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=o.

证明
充分性:∵a+b+c=0,即c=-a-b.
∴ax2+bx+c=ax2+bx-a-b=(x-1)(ax+a+b).
∴原方程即(x-1)(ax+a+b)=0,故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:∵x=1是方程ax2+bx+c=0的根.
代入方程,可得a+b+c=0.
综合以上证明得,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.