三角形ABC中,角A,B,C,的对边记作a,b,c.求证(Aa+Bb+Cc) ÷(a+b+c) ≥60°. 用初中数学解答.
问题描述：
三角形ABC中,角A,B,C,的对边记作a,b,c.求证(Aa+Bb+Cc) ÷(a+b+c) ≥60°. 用初中数学解答.
答
令a≥b≥c,∵三角形的大边所对的角大,∴A≥B≥C
∵(a-b)(A-B)≥0
∴aA-aB-bA+bB≥0
∴aA+bB≥aB+bA (1)
同理：
bB+cC≥bC+cB (2)
cC+aA≥cA+aC (3)
三式相加：2(aA+bB+cC)≥a(B+C)+b(A+C)+c(A+B)
∵B+C＝180°-A,A+C＝180°-B,A+B＝180°-C
代入上式,得2(aA+bB+cC)≥a(180°-A)+b(180°-B)+c(180°-C)
∴2(aA+bB+cC)≥180°(a+b+c)-(aA+bB+cC)
∴3(aA+bB+cC)≥180°(a+b+c)
∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)≥60°