求一个正交变换x=Py,使二次型5(X1,X2,xX3)=2X1^2+3X3^2+4X2*X3化为标准型
问题描述：
求一个正交变换x=Py,使二次型5(X1,X2,xX3)=2X1^2+3X3^2+4X2*X3化为标准型
答
二次型的矩阵 A =
2 0 0
0 0 2
0 2 3
|A-λE|=
2-λ 0 0
0 -λ 2
0 2 3-λ
=-(λ-2)(λ-4)(λ+1)
特征值为λ1=2,λ1=4,λ1=-1
A-2E =
0 0 0
0 -2 2
0 2 1
-->
0 0 0
0 0 1
0 1 0
得特征向量 a1=(1,0,0)'.
A-4E =
-2 0 0
0 -4 2
0 2 -1
-->
1 0 0
0 2 -1
0 0 0
得特征向量 a2=(0,1,2)',单位化得 a3=(0,1/√5,2/√5)'.
A+E=
3 0 0
0 1 2
0 2 4
-->
1 0 0
0 1 2
0 0 0
得特征向量 (0,2,-1)',单位化得 a3=(0,2/√5,-1/√5)'.
令P=(a1,a2,a3)=
1 0 0
0 1/√5 2/√5
0 2/√5 -1/√5
则P为正交矩阵.
正交变换 X=PY将f化为 2y1^2+4y2^2-y3^2.